Htydjtk

Graphum Polynomium gradus quinti

Polynomium^[1] (Graece πολύς 'multum' + νομός 'portio, pars') in mathematica est functio formae
f(x)=∑i=0nai⋅xi=an⋅xn+an−1⋅xn−1+⋯+a1⋅x+a0,{displaystyle f(x)=sum _{i=0}^{n}a_{i}cdot x^{i}=a_{n}cdot x^{n}+a_{n-1}cdot x^{n-1}+dots +a_{1}cdot x+a_{0},}
ubi n∈N{displaystyle nin mathbb {N} }. Numerus n{displaystyle n} appellatur gradus polynomii. Numeri ai{displaystyle a_{i}} (qui "coefficientes" dicuntur) saepius sunt in quolibet corpore, vel R{displaystyle mathbb {R} }, vel C{displaystyle mathbb {C} }, vel alio; licet etiam in anello esse, ut anellus matricum quadraticarum alicuius magnitudinis. Algebra elementaria de polynomiis tractat.

Etymologia |

Nomen polynomium, praefixo πολύ 'multum' addito, formatum est ab exemplo binomio, quod ipsum a Francogallico nom vel Latino nomine contracto derivatum est.^[2]

Proprietates |

• Omnis functio polynomialis continua est et differentiabilis.


• 
  Fluxio polynomii est (secundum regulam summae et factoris functionis differentiabilis):

f′(x)=(∑i=0nai⋅xi)′=∑i=1n−1ai⋅i⋅xi−1=an⋅n⋅xn−1+an−1⋅(n−1)⋅xn−2+⋯+a1{displaystyle f!,'(x)=left(sum _{i=0}^{n}a_{i}cdot x^{i}right)^{!,'}=sum _{i=1}^{n-1}a_{i}cdot icdot x^{i-1}=a_{n}cdot ncdot x^{n-1}+a_{n-1}cdot (n-1)cdot x^{n-2}+dots +a_{1}}

Anellus polynomiorum |

Possumus addere, subtrahere, et multiplicare polynomia (leges binominales sunt simplissimae multiplicationis regulae), quae operationes semper aliud polynomium faciunt. Divisio vel quotiens duorum polynomiorum autem est functio rationalis (per definitionem) sed non semper polynomium. Polynomia ergo quorum coefficientes sunt in corpore F font anellus, F[x] dictus.

Symmetria |

Si n{displaystyle n} est numerus par et omnes ai=0, ∀i=2k−1{displaystyle a_{i}=0, forall i=2k-1} (id est omnibus i imparibus) sunt, tum functio est symmetrica ad axem verticalem, quae aequatione x=0{displaystyle x=0} datur.

Si n{displaystyle n} est numerus impar et omnes ai=0, ∀i=2k{displaystyle a_{i}=0, forall i=2k} (id est omnibus i paribus) sunt, tum functio est symmetrica ad punctum originis (0/0).

Exempla

• Polynomium f(x)=17x4−7x2−3{displaystyle f(x)=17x^{4}-7x^{2}-3} est symmetricum ad axem verticalem, quae aequatione x=0{displaystyle x=0} datur.


• Polynomium f(x)=8x5−7x{displaystyle f(x)=8x^{5}-7x} est symmetricum ad punctum originis (0,0).

Notae |

Nexus interni

• Numerus complexus


• Theorema fundamentale algebrae