Numerus quadratus
Numeri et eorum quadrati
Numerus quadratus in mathematica, etiam quadratus perfectus appellatus, est integer qui est quadratus integri, et ergo cuius radix est integer. Exempli gratia, 9 est numerus quadratus, quia ut 3 × 3 scribi potest.
Index
1 Proprietates
1.1 De visu
1.2 Formulae et res pertinentes
1.3 De notis ultimis
1.4 Pares quadrati et impares
2 Brevis index
3 Nexus interni
4 Bibliographia
5 Nexus externi
Proprietates |
De visu |
Numerus n est quadratus solum si n puncta in quadro ordinentur:
| 12 = 1 |  |
| 22 = 4 |  |
| 32 = 9 |  |
| 42 = 16 |  |
| 52 = 25 |  |
Formulae et res pertinentes |
Formula pro n numero quadrato est n2. Etiam haec aequat summam primorum n numerorum imparum (n2=∑k=1n(2k−1){displaystyle n^{2}=sum _{k=1}^{n}(2k-1)}), ut possit videre super in picturis, ubi quadratus factus est impari numero punctorum addito (notatus +).
E.g., 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
n quadratus ex duobus prioribus calculetur addendo (n − 1)um quadratum sibi, subtrahendo (n − 2)um quadratum, et addendo 2.
I.e., (n2=2(n−1)2−(n−2)2+2{displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2}).
E.g., 2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.
Utile est observatu modum quo quadratus exprimitur a summa 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n, ut monstratur super in picturis.
E.g., 42 aequat 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.
Opem hoc det quadratum numeri maioris perceliter, e.g., 522 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.
Summa duorum numerorum triangulum consequentum, ita 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6+10=16.
Summa duorum numerorum quadratorum consequentium est numerus quadratus centropositus; exempli gratia, 5 = 1 + 4, et quincunx formam habet quadrati centropositi. Omnis impar numerus quadratus est numerus octagonalis centropositus.
Summa omnium numerorum quadratorum usque ad limem quendam est numerus pyramidalis, ut 1 + 4 + 9 = 13.
De notis ultimis |
Ultimae notae quadrati soli sit 00, 1, 4, 6, 9, vel 25—in 10—ut subter explicatur:
- Si numeri ultimus est 0, ultimi eius quadrati sint 00 et priores sint quadrati.
- Si numeri ultimus est 1 vel 9, ultimus eius quadrati sit 1 et priores sint divisibiles a 4.
- Si numeri ultimus est 2 vel 8, ultimus eius quadrati sit 4 et prior sit par.
- Si numeri ultimus est 3 vel 7, ultimus eius quadrati sit 9 et priores sint divisibiles a 4.
- Si numeri ultimus est 4 vel 6, ultimus eius quadrati sit 6 et prior sit impar.
- Si numeri ultimus est 5, ultimi eius quadrati sint 25 et priores sint 0, 2, 06, vel 56.
Nullus numerus quadratus est numerus perfectus.
Pares quadrati et impares |
Quadrati numerorum parum sunt pares, nam (2n)2 = 4n2.
Quadrati numerorum imparum sunt impares, nam (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Ita radices parum quadratorum pares, imparum impares.
Brevis index |
Primi 51 quadrati sunt: 02 = 0
- 12 = 1
- 22 = 4
- 32 = 9
- 42 = 16
- 52 = 25
- 62 = 36
- 72 = 49
- 82 = 64
- 92 = 81
- 102 = 100
- 112 = 121
- 122 = 144
- 132 = 169
- 142 = 196
- 152 = 225
- 162 = 256
- 172 = 289
- 182 = 324
- 192 = 361
- 202 = 400
- 212 = 441
- 222 = 484
- 232 = 529
- 242 = 576
- 252 = 625
- 262 = 676
- 272 = 729
- 282 = 784
- 292 = 841
- 302 = 900
- 312 = 961
- 322 = 1024
- 332 = 1089
- 342 = 1156
- 352 = 1225
- 362 = 1296
- 372 = 1369
- 382 = 1444
- 392 = 1521
- 402 = 1600
- 412 = 1681
- 422 = 1764
- 432 = 1849
- 442 = 1936
- 452 = 2025
- 462 = 2116
- 472 = 2209
- 482 = 2304
- 492 = 2401
- 502 = 2500
Nexus interni
- Coniectura Legendre
- Numerus triangularis
Bibliographia |
Conway, J. H., et R. K. Guy. 1996. The Book of Numbers. Novi Eboraci: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97993-X.
Nexus externi |
http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM Summa quadratorum, Java applet qui numerum naturalem in summam quattuor quadratorum reducit- Disce Numeros Quadratos
Numeri Fibonacciani et Quadrati apud mathdl.maa.org- Primi 1,000,000 Quadratorum Perfectorum
