Htydjtk

Numeri et eorum quadrati

Numerus quadratus in mathematica, etiam quadratus perfectus appellatus, est integer qui est quadratus integri, et ergo cuius radix est integer. Exempli gratia, 9 est numerus quadratus, quia ut 3 × 3 scribi potest.

Proprietates |

De visu |

Numerus n est quadratus solum si n puncta in quadro ordinentur:

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25

Formulae et res pertinentes |

Formula pro n numero quadrato est n². Etiam haec aequat summam primorum n numerorum imparum (n2=∑k=1n(2k−1){displaystyle n^{2}=sum _{k=1}^{n}(2k-1)}), ut possit videre super in picturis, ubi quadratus factus est impari numero punctorum addito (notatus +).
E.g., 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

n quadratus ex duobus prioribus calculetur addendo (n − 1)um quadratum sibi, subtrahendo (n − 2)um quadratum, et addendo 2.

I.e., (n2=2(n−1)2−(n−2)2+2{displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2}).

E.g., 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

Utile est observatu modum quo quadratus exprimitur a summa 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n, ut monstratur super in picturis.

E.g., 4² aequat 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.

Opem hoc det quadratum numeri maioris perceliter, e.g., 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

Summa duorum numerorum triangulum consequentum, ita 1 + 3 = 4, 3 + 6 = 9, 6+10=16.

Summa duorum numerorum quadratorum consequentium est numerus quadratus centropositus; exempli gratia, 5 = 1 + 4, et quincunx formam habet quadrati centropositi. Omnis impar numerus quadratus est numerus octagonalis centropositus.

Summa omnium numerorum quadratorum usque ad limem quendam est numerus pyramidalis, ut 1 + 4 + 9 = 13.

De notis ultimis |

Ultimae notae quadrati soli sit 00, 1, 4, 6, 9, vel 25—in 10—ut subter explicatur:

1. Si numeri ultimus est 0, ultimi eius quadrati sint 00 et priores sint quadrati.


2. Si numeri ultimus est 1 vel 9, ultimus eius quadrati sit 1 et priores sint divisibiles a 4.


3. Si numeri ultimus est 2 vel 8, ultimus eius quadrati sit 4 et prior sit par.


4. Si numeri ultimus est 3 vel 7, ultimus eius quadrati sit 9 et priores sint divisibiles a 4.


5. Si numeri ultimus est 4 vel 6, ultimus eius quadrati sit 6 et prior sit impar.


6. Si numeri ultimus est 5, ultimi eius quadrati sint 25 et priores sint 0, 2, 06, vel 56.

Nullus numerus quadratus est numerus perfectus.

Pares quadrati et impares |

Quadrati numerorum parum sunt pares, nam (2n)² = 4n².

Quadrati numerorum imparum sunt impares, nam (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

Ita radices parum quadratorum pares, imparum impares.

Brevis index |

Primi 51 quadrati sunt: 0² = 0

Nexus interni

• Coniectura Legendre


• Numerus triangularis

Bibliographia |

• 
  Conway, J. H., et R. K. Guy. 1996. The Book of Numbers. Novi Eboraci: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97993-X.

Nexus externi |

• 
  http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM Summa quadratorum, Java applet qui numerum naturalem in summam quattuor quadratorum reducit


• Disce Numeros Quadratos


• 
  Numeri Fibonacciani et Quadrati apud mathdl.maa.org


• Primi 1,000,000 Quadratorum Perfectorum