Htydjtk

Linea rufa partem realem, linea caerulea partem imaginariam valorum functionis ζ(s) monstrat, in linea "criticale" dicta ubi Re(s) = 1/2. ζ(s) = 0 ubi lineae ambo axem horizontalem transeunt: ±14.35, ±21.022, etc.

Hypothesis Riemanniana, est hypothesis in theoria numerorum, dicit omnes numeros complexos s ut ζ(s) = 0, praeter valores triviales, partem realem 1/2 habere; ζ(s) = functio zeta Riemanniana. Si vera est, possumus aestimare quot numeri primi sint minores quam numero quolibet n, h.e. π(n).

Quantitas primorum |

Theorema clarissimum de numeris primis, "theorema numerorum primorum" dictum, probaverunt Iacobus Hadamard et Carolus Ioannis De La Vallée Poussin anno 1896. Sit π(x) = quot numeri primi minores sunt quam x, et sit Li(x) = "logarithmicum integrale":

Li(x)=∫2xdtlog⁡t{displaystyle {rm {Li}}(x)=int _{2}^{x}{frac {dt}{log t}}}

Tunc

limx→∞π(x)Li(x)=1{displaystyle lim _{xto infty }{frac {pi (x)}{{rm {Li}}(x)}}=1}

Hoc est, Li(x) bene approximat π(x). Hypothesis Riemanniana autem dicit hanc approximationem etiam meliorem esse: hypothesis implicat:

∀n∈Z>3,|π(n)−Li(n)|≤nlog⁡(n){displaystyle forall nin mathbb {Z} >3,|pi (n)-{rm {Li}}(n)|leq {sqrt {n}}log(n)}

Quia Li(n) ≈ n/log(n), quae quantitas maior est quam nlog⁡(n){displaystyle {sqrt {n}}log(n)}, vidimus errorem approximationis multo minorem esse quam aut π(n) aut Li(n).^[1]

Functio zeta |

Functio zeta Riemanniana haec est:

ζ(s)=∑n=1∞n−s=1+12s+13s+…{displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}^{infty }n^{-s}=1+{frac {1}{2^{s}}}+{frac {1}{3^{s}}}+dots }

Leonhardus Eulerus demonstravit:

ζ(s)=∏p(1−p−s)−1,p primus,s realis>1{displaystyle zeta (s)=prod _{p}(1-p^{-s})^{-1},p{text{ primus}},s{text{ realis}}>1}

Bernardus Riemann functionem in numeros complexos extendit (praeter s = 1, scilicet). Nunc, si pars realis s > 1,

log⁡ζ(s)=∑pprimus−log⁡(1−p−s){displaystyle log zeta (s)=sum _{pprimus}-log(1-p^{-s})}

ddssζ(s)=−∑n=1∞Λ(n)ns{displaystyle {frac {d}{ds}}{frac {s}{zeta (s)}}=-sum _{n=1}^{infty }{frac {Lambda (n)}{n^{s}}}}

ubi functio Λ haec est:

Λ(n) = log(p), si n = p^k, p primus, k > 0

= 0 si n nec numerus primus nec potestas numeri primi est

Hoc est, functio zeta positionem numerorum primorum repraesentare videtur.^[2]

Notae |

Bibliographia |

• Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader, edd. The Princeton Companion to Mathematics. Princetoniae: Princeton University Press, 2008. ISBN 978-0-691-11880-2
  


• Marcus du Sautoy. The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Novi Eboraci: HarperCollins, 2003. ISBN 0-06-621070-4
  


• Barry Mazur et William Stein. Prime Numbers and the Riemann Hypothesis. Cantabridgiae: Cambridge University Press, 2016. ISBN 978-1-107-49943-0
  

Nexus externi |

• 
  De Hypothesi, Clay Mathematics Institute


• Prime Pages


• Pour la science

Haec stipula ad mathematicam spectat. Amplifica, si potes!